13 प्रकार के गणितीय कार्य (और उनकी विशेषताएँ)

गणित सबसे तकनीकी और उद्देश्य वैज्ञानिक विषयों में से एक है जो मौजूद है। यह मुख्य ढांचा है जिसमें से विज्ञान की अन्य शाखाएं माप करने और उन तत्वों के चर के साथ काम करने में सक्षम हैं जो वे अध्ययन करते हैं, इस तरह से कि अपने आप में एक अनुशासन के अलावा यह तर्क के बगल में एक के आधारों में से एक को दबा देता है वैज्ञानिक ज्ञान.

लेकिन गणित के भीतर बहुत विविध प्रक्रियाओं और गुणों का अध्ययन किया जाता है, उनके बीच दो परिमाण या जुड़े डोमेन के बीच का संबंध होता है, जिसमें एक ठोस तत्व के मूल्य के फ़ंक्शन के लिए धन्यवाद या एक ठोस परिणाम प्राप्त होता है। यह गणितीय कार्यों के अस्तित्व के बारे में है, जो हमेशा एक दूसरे को प्रभावित करने या संबंधित करने का एक ही तरीका नहीं होगा.

यही कारण है कि हम विभिन्न प्रकार के गणितीय कार्यों के बारे में बात कर सकते हैं, जिसके बारे में हम इस लेख में बात करने जा रहे हैं.

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गणित में कार्य: क्या हैं?

मुख्य प्रकार के गणितीय कार्यों को स्थापित करने के लिए जाने से पहले, यह एक छोटा सा परिचय बनाने के लिए उपयोगी है ताकि हम जिस कार्य के बारे में बात कर रहे हैं, उसके बारे में बात कर सकें.

गणितीय कार्यों को परिभाषित किया गया है दो चर या परिमाण के बीच संबंध की गणितीय अभिव्यक्ति. ये चर वर्णमाला के अंतिम अक्षरों, X और Y के प्रतीक हैं, और क्रमशः डोमेन नाम और कोडोमैन प्राप्त करते हैं.

यह संबंध इस तरह से व्यक्त किया गया है कि दोनों विश्लेषण किए गए घटकों के बीच एक समानता का अस्तित्व मांगा गया है, और सामान्य तौर पर यह तात्पर्य है कि X के प्रत्येक मान के लिए Y और इसके विपरीत का एक ही परिणाम है (हालांकि कार्यों के वर्गीकरण हैं - अनुपालन नहीं करते हैं) इस आवश्यकता के साथ).

इसके अलावा, इस समारोह एक ग्राफिक के रूप में एक प्रतिनिधित्व के निर्माण की अनुमति देता है जो बदले में एक दूसरे से चर के व्यवहार की भविष्यवाणी की अनुमति देता है, साथ ही साथ इस संबंध की संभावित सीमा या उक्त चर के व्यवहार में परिवर्तन.

जैसा कि ऐसा होता है जब हम कहते हैं कि कुछ निर्भर करता है या किसी और चीज पर आधारित है (उदाहरण के लिए, अगर हम मानते हैं कि गणित की परीक्षा में हमारा ग्रेड हमारे द्वारा अध्ययन किए जाने वाले घंटे की संख्या का एक फ़ंक्शन है), जब हम एक गणितीय फ़ंक्शन के बारे में बात करते हैं हम संकेत कर रहे हैं कि एक निश्चित मूल्य प्राप्त करना दूसरे से जुड़े मूल्य पर निर्भर करता है.

वास्तव में, पिछला उदाहरण स्वयं गणितीय कार्य के रूप में प्रत्यक्ष रूप से स्पष्ट है (हालांकि वास्तविक दुनिया में संबंध बहुत अधिक जटिल है क्योंकि यह वास्तव में कई कारकों पर निर्भर करता है और न केवल अध्ययन किए गए घंटों की संख्या पर).

मुख्य प्रकार के गणितीय कार्य

यहाँ हम विभिन्न समूहों में वर्गीकृत कुछ मुख्य प्रकार के गणितीय कार्य दिखाते हैं उनके व्यवहार और रिश्ते के प्रकार के अनुसार जो चर X और Y के बीच स्थापित है.

1. बीजगणितीय कार्य

बीजीय कार्यों को गणितीय संबंध के प्रकारों के सेट के रूप में समझा जाता है जो एक संबंध स्थापित करके विशेषता रखते हैं जिनके घटक या तो मोनोमियल या बहुपद हैं, और जिसका संबंध अपेक्षाकृत सरल गणितीय कार्यों के प्रदर्शन के माध्यम से प्राप्त होता हैइसके अलावा घटाव, गुणा, भाग, गुणन या स्थापना (जड़ों का उपयोग)। इस श्रेणी के भीतर हम कई प्रकार पा सकते हैं.

1.1। स्पष्ट कार्य

स्पष्ट कार्यों को उन प्रकार के गणितीय कार्यों के लिए समझा जाता है जिनके संबंध सीधे प्राप्त किए जा सकते हैं, बस इसी मूल्य के लिए डोमेन x को प्रतिस्थापित करके। दूसरे शब्दों में, यह वह कार्य है जिसमें सीधे होते हैं हम उस मूल्य और गणितीय संबंध के बीच एक समानता पाते हैं जिसमें डोमेन x प्रभावित होता है.

1.2। निहित कार्य

पिछले वाले के विपरीत, निहित कार्यों में डोमेन और कोडोमैन के बीच संबंध सीधे स्थापित नहीं होता है, एक्स और वाई जिस तरह से संबंधित हैं, उसे खोजने के लिए विभिन्न परिवर्तनों और गणितीय कार्यों को करने के लिए आवश्यक है।.

1.3। बहुपद कार्य

बहुपदीय कार्य, जिन्हें कभी-कभी बीजगणितीय कार्यों का पर्यायवाची माना जाता है और दूसरों को इनमें से एक उपवर्ग के रूप में समझा जाता है, जिसमें गणितीय कार्यों के प्रकार को एकीकृत किया जाता है डोमेन और कोडोमैन के बीच संबंध प्राप्त करने के लिए, बहुपद के साथ विभिन्न संचालन करना आवश्यक है विभिन्न डिग्री के.

रैखिक या प्रथम श्रेणी के कार्य संभवतः हल करने के लिए सबसे सरल प्रकार के कार्य हैं और सबसे पहले सीखे जाने वाले हैं। उनमें बस एक साधारण रिश्ता होता है जिसमें x का मान y का मान उत्पन्न करेगा, और इसका ग्राफिक प्रतिनिधित्व एक ऐसी रेखा है जिसे किसी बिंदु से निर्देशांक अक्ष को काटना पड़ता है। केवल भिन्नता उक्त रेखा का ढलान होगी और वह बिंदु जहां वह अक्ष को काटती है, हमेशा एक ही प्रकार के संबंध को बनाए रखती है.

उनके भीतर हम पहचान कार्यों को पा सकते हैं, जिसमें डोमेन और कोडोमैन के बीच एक पहचान है इस तरह से कि दोनों मान हमेशा एक ही होते हैं (y = x), रैखिक कार्य (जिसमें हम केवल ढलान, y = mx की भिन्नता का निरीक्षण करते हैं) और संबंधित कार्य (जिसमें हम कटऑफ बिंदु में परिवर्तन पा सकते हैं) अनुपस्थिति और ढलान, y = mx + a).

द्विघात या द्वितीय डिग्री फ़ंक्शन वे हैं जो एक बहुपद का परिचय देते हैं जिसमें एक एकल चर में समय के साथ एक गैर-रैखिक व्यवहार होता है (बल्कि, कोडोमैन के संबंध में)। एक विशिष्ट सीमा से फ़ंक्शन कुल्हाड़ियों में से एक में अनंत तक जाता है। ग्राफिक प्रतिनिधित्व एक parabola के रूप में स्थापित किया गया है, और गणितीय रूप से y = ax2 + bx + c के रूप में व्यक्त किया गया है.

लगातार कार्य वे हैं जिनमें एक वास्तविक संख्या डोमेन और कोडोमैन के बीच संबंध का निर्धारक है. यही है, दोनों के मूल्य के आधार पर कोई वास्तविक भिन्नता नहीं है: कोडोमैन हमेशा एक स्थिर होगा, कोई डोमेन चर नहीं है जो परिवर्तन पेश कर सकता है। बस, y = k.

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1.4। तर्कसंगत कार्य

उन्हें फ़ंक्शंस के सेट के लिए तर्कसंगत कार्यों के रूप में कहा जाता है जिसमें फ़ंक्शन का मान गैर-शून्य पॉलिनेरियल्स के बीच एक भागफल से स्थापित होता है। इन कार्यों में डोमेन में उन सभी नंबरों को शामिल किया जाएगा, सिवाय इसके कि जो विभाजन के हर को काटता है, जो मान प्राप्त करने की अनुमति नहीं देगा और.

इस प्रकार के कार्यों में सीमाएँ asymptotes के रूप में जानी जाती हैं, जो ठीक उन मानों में होगा जिनमें कोई डोमेन या कोडोमैन मूल्य नहीं होगा (यानी, जब y और x 0 के बराबर हों)। इन सीमाओं में, ग्राफिक अभ्यावेदन अनंत होते हैं, कभी भी उक्त सीमा को छूने के बिना। इस प्रकार के फ़ंक्शन का एक उदाहरण: y = of कुल्हाड़ी

1.5। तर्कहीन या कट्टरपंथी कार्य

अपरिमेय कार्यों का नाम उन कार्यों का समूह है जिसमें एक परिमेय कार्य को एक मूल या मूल के अंदर पेश किया जाता है (जिसका वर्ग नहीं होना चाहिए, क्योंकि यह संभव है कि यह घन या किसी अन्य प्रतिपादक के साथ हो).

इसे हल करने में सक्षम होने के लिए हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि इस जड़ का अस्तित्व कुछ प्रतिबंधों को लागू करता है, उदाहरण के लिए तथ्य यह है कि x का मान हमेशा जड़ के परिणाम को सकारात्मक और शून्य से अधिक या उसके बराबर होने का कारण होगा.

1.6। टुकड़ों द्वारा परिभाषित कार्य

इस प्रकार के कार्य वे हैं जिनमें y का मान फ़ंक्शन के व्यवहार को बदलता है, डोमेन के मूल्य के आधार पर बहुत भिन्न व्यवहार के साथ दो अंतराल होते हैं। एक मान होगा जो इसका हिस्सा नहीं होगा, जो कि वह मूल्य होगा जिससे फ़ंक्शन का व्यवहार भिन्न होता है.

2. पारलौकिक कार्य

अनुदैर्ध्य कार्य उन परिमाणों के बीच संबंधों के गणितीय निरूपण हैं जिन्हें बीजगणितीय संक्रियाओं के माध्यम से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, और जिनके लिए अपने रिश्ते को प्राप्त करने के लिए एक जटिल गणना प्रक्रिया करना आवश्यक है. इसमें मुख्य रूप से उन कार्यों को शामिल किया जाता है जिनके लिए डेरिवेटिव, इंटीग्रल्स, लॉगरिथम या एक प्रकार की वृद्धि की आवश्यकता होती है जो लगातार बढ़ रही है या घट रही है.

2.1। घातीय कार्य

जैसा कि इसके नाम से संकेत मिलता है, घातीय फ़ंक्शंस फ़ंक्शंस का समूह है जो डोमेन और कोडोमैन के बीच एक संबंध स्थापित करता है जिसमें एक विकास संबंध घातीय स्तर पर स्थापित होता है, अर्थात्, तेजी से विकास होता है। x का मान घातांक है, अर्थात, जिस तरह से फ़ंक्शन का मान समय के साथ बदलता और बढ़ता है. सबसे सरल उदाहरण: y = ax

2.2। कार्य लॉग करें

किसी भी संख्या का लघुगणक वह घातांक है जो विशिष्ट संख्या प्राप्त करने के लिए उपयोग किए गए आधार को बढ़ाने के लिए आवश्यक होगा। इस प्रकार लॉगरिदमिक कार्य वे हैं जिनमें हम एक विशिष्ट आधार के साथ प्राप्त होने वाली संख्या को डोमेन के रूप में उपयोग कर रहे हैं. यह घातीय फ़ंक्शन का विपरीत और उलटा मामला है.

X का मान हमेशा शून्य से अधिक और 1 से भिन्न होना चाहिए (क्योंकि आधार 1 के साथ कोई भी लघुगणक शून्य के बराबर है)। X का मान बढ़ने पर फंक्शन की ग्रोथ कम हो रही है। इस मामले में y = लोगा x

2.3। त्रिकोणमितीय कार्य

एक प्रकार का फ़ंक्शन जो विभिन्न तत्वों के बीच संख्यात्मक संबंध स्थापित करता है जो एक त्रिकोण या एक ज्यामितीय आकृति बनाते हैं, और विशेष रूप से रिश्ते जो एक आकृति के कोणों के बीच मौजूद होते हैं। इन कार्यों के भीतर हम एक निर्धारित मान x से पहले साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, सेकेंट, कॉटैंगेंट और कोसेन्ट की गणना पाते हैं।.

एक और वर्गीकरण

ऊपर बताए गए गणितीय फ़ंक्शन प्रकारों के सेट को ध्यान में रखा जाता है कि डोमेन के प्रत्येक मूल्य के लिए कोडोमैन का एक अनूठा मूल्य मेल खाता है (अर्थात, x का प्रत्येक मान एक विशिष्ट मान का कारण होगा)। हालांकि, हालांकि इस तथ्य को आमतौर पर बुनियादी और मौलिक माना जाता है, तथ्य यह है कि कुछ को खोजना संभव है गणितीय कार्यों के प्रकार जिसमें x और y के बीच पत्राचार के संबंध में कुछ विचलन हो सकते हैं. विशेष रूप से हम निम्न प्रकार के कार्यों को पा सकते हैं.

1. विशेषण कार्य

इंजेक्शन कार्यों का नाम डोमेन और कोडोमैन के बीच का गणितीय संबंध है जिसमें कोडोमैन के प्रत्येक मान को केवल डोमेन के मान से जोड़ा जाता है। अर्थात्, x केवल एक मान और निर्धारित के लिए एक ही मान रखने में सक्षम होगा, या इसका कोई मूल्य नहीं हो सकता है (अर्थात, x का एक विशिष्ट मान y से संबंधित नहीं हो सकता है).

2. विशेषण कार्य

अधिशेष कार्य वे सभी हैं जिनमें कोडोमैन (y) के हर एक तत्व या मान डोमेन (x) के कम से कम एक से संबंधित हैं, हालांकि वे अधिक हो सकते हैं। यह आवश्यक रूप से इंजेक्शन नहीं होना चाहिए (x के कई मानों को समान करने में सक्षम होने के लिए और).

3. विशेषण कार्य

फंक्शन का प्रकार जिसमें इंजेक्शन और सर्जिकल दोनों गुण दिए गए हैं, इस तरह के रूप में कहा जाता है। मेरा मतलब है, प्रत्येक के लिए x का एक मान है और, और सभी डोमेन मूल्य कोडोमैन में से एक के अनुरूप हैं.

4. गैर-इंजेक्शन और गैर-विशेषण कार्य

इस प्रकार के कार्यों से संकेत मिलता है कि एक विशिष्ट कोडोमैन के लिए डोमेन के कई मूल्य हैं (अर्थात, x के विभिन्न मूल्य हमें एक ही y देंगे) एक ही समय में y के अन्य मान x के किसी भी मान से जुड़े नहीं हैं.

संदर्भ संबंधी संदर्भ:

• ईव्स, एच। (1990)। गणित की नींव और मौलिक अवधारणा (3 संस्करण)। डोवर.
• हेज़िंकल, एम। एड। (2000)। गणित का विश्वकोश। क्लूवर अकादमिक प्रकाशक.